Расстояние между двумя точками. Расчет расстояний между городами по их координатам Расстояние от точки до точки по координатам
Каждая точка А плоскости характеризуется своими координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора 0А , выходящего из точки 0 - начала координат.
Пусть А и В - произвольные точки плоскости с координатами (х 1 y 1) и (х 2 , у 2) соответственно.
Тогда вектор AB имеет, очевидно, координаты (х 2 - х 1 , y 2 - y 1). Известно, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, определяется из условия
d 2 = (х 2 - х 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .
$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плоскости, мы имеем в виду вполне определенную систему координат х0у. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат х0у можно рассмотреть систему координат хִу , которая получается в результате поворота старых осей координат вокруг начальной точки 0 против часовой стрелки на угол α .
Если некоторая точка плоскости в системе координат х0у имела координаты (х, у), то в новой системе координат хִу она будет иметь уже другие координаты (х, у).
В качестве примера рассмотрим точку М, расположенную на оси 0х и отстоящую от точки 0 на расстоянии, равном 1.
Очевидно, что в системе координат x0у эта точка имеет координаты (cos α , sin α ), а в системе координат хִу координаты (1,0).
Координаты любых двух точек плоскости А и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат .
Другие материалыТеорема 1. Для любых двух точек иплоскости расстояниемежду ними выражается формулой:
Например, если даны точки и, то расстояние между ними:
2. Площадь треугольника.
Теорема
2.
Для любых точек
, не лежащих на одной прямой, площадь треугольника выражается формулой:
Например, найдем площадь треугольника, образованного точками ,и.
Замечание. Если площадь треугольника равна нулю, это означает, что точки лежат на одной прямой.
3. Деление отрезка в заданном отношении.
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пусть
–любая точка этого отрезка, отличная от точек концов. Число , определенное равенством, называетсяотношением, в котором точка делит отрезок.
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению и данным координатам точек
и найти координаты точки.
Теорема
3.
Если
точка
делит отрезок
в
отношении
,
то
координаты этой точки определяются
формулами:
(1.3), где– координаты точки,– координаты точки.
Следствие: Если – середина отрезка
, где и, то(1.4) (т.к.).
Например. Даны точки и. Найти координаты точки, которая в два раза ближе к, чем к
Решение: Искомая точка делит отрезок
в
отношении
так как
,
тогда
,
,
получили
Полярные координаты
Наиболее
важной после прямоугольной системы
координат является полярная система
координат. Она состоит из некоторой
точки
,
называемойполюсом
,
и исходящего из нее луча
–полярной
оси
.
Кроме того, задается единица масштаба
для измерения длин отрезков.
Пусть задана полярная система координат и пусть – произвольная точка плоскости. Пусть – расстояние от точки
до точки ;– угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом.
Полярными координатами точки называются числаи. При этом числосчитается первой координатой и называетсяполярным радиусом , число – второй координатой и называетсяполярным углом.
Обозначается . Полярный радиус может иметь любое неотрицательное значение:. Обычно считают, что полярный угол изменяется в следующих пределах:. Однако в ряде случаев приходится определять углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.
Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.
Будем
считать, что начало прямоугольной
системы координат находится в полюсе,
а положительная полуось абсцисс совпадает
с полярной осью.
Пусть – в прямоугольной системе координат и– в полярной системе координат. Определен– прямоугольный треугольник с. Тогда(1.5). Эти формулы выражают прямоугольные координаты через полярные.
С другой стороны, по теореме Пифагора и
(1.6)
– эти формулы, выражают полярные
координаты через прямоугольные.
Заметим, что формула определяет два значения полярного угла, так как. Из этих двух значений углавыбирают тот, при котором удовлетворяются равенства.
Например, найдем полярные координаты точки ..или, т.к.I четверти.
Пример
1:
Найти точку, симметричную точке 
Относительно биссектрисы первого координатного угла.
Решение:
Проведем через точку А прямую l 1 , перпендикулярную биссектрисе l первого координатного угла. Пусть . На прямой l 1 отложим отрезок СА 1 , равный отрезку АС. Прямоугольные треугольники АСО и А 1 СО равны между собой (по двум катетам). Отсюда следует, что |ОА | = |OA 1 |. Треугольники ADO и ОЕА 1 также равны между собой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что |AD | = |ОЕ| = 4, |OD| = |EA 1 | = 2, т.е. точка имеет координаты х = 4, у = -2, т.е. А 1 (4;-2).
Отметим, что имеет место общее утверждение: точка A 1 , симметричная точке относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, имеет координаты , то есть.
Пример 2: Найти точку, в которой прямая, проходящая через точки и , пересечет ось Ох.
Решение:
Координаты искомой точки С есть (x ; 0). А так как точки А , В и С лежат на одной прямой, то должно выполняться условие (x 2 -x 1 )(y 3 -y 1 )-(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 ) = 0 (формула (1.2), площадь треугольника ABC равна нулю!), где – координаты точки А , – точкиВ , – точкиС . Получаем , т.е., , . Следовательно, точка С имеет координаты ,, т.е..
Пример 3: В полярной системе координат заданы точки ,. Найти:а) расстояние между точками и; б) площадь треугольника ОМ 1 М 2 (О – полюс).
Решение:
а) Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):
то есть, .
б) пользуясь формулой для площади треугольника со сторонами а и b и углом между ними (), находим площадь треугольника ОМ 1 М 2 . .
Расстояние между двумя точками плоскости.
Системы координат
Каждая точка А плоскости характеризуется своими координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора 0А , выходящего из точки 0 - начала координат.
Пусть А и В - произвольные точки плоскости с координатами (х 1 y 1) и (х 2 , у 2) соответственно.
Тогда вектор AB имеет, очевидно, координаты (х 2 - х 1 , y 2 - y 1). Известно, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, определяется из условия
d 2 = (х 2 - х 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .
d = \/ (х 2 - х 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плоскоси, мы имеем в виду вполне определенную систему координат х0у. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат х0у можно рассмотреть систему координат х"0у" , которая получается в результате поворота старых осей координат вокруг начальной точки 0 против часовой стрелки на угол α .
Если некоторая точка плоскости в системе координат х0у имела координаты (х, у), то в новой системе координат х"0у" она будет иметь уже другие координаты (х", у").
В качестве примера рассмотрим точку М, расположенную на оси 0х" и отстоящую от точки 0 на расстоянии, равном 1.
Очевидно, что в системе координат x0у эта точка имеет координаты (cos α , sin α ), а в системе координат х"0у" координаты (1,0).
Координаты любых двух точек плоскости А и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат. Это важное обстоятельство будет существенно использовано нами в следующем параграфе.
Упражнения
I. Найти расстояния между точками плоскости с координатами:
1) (3,5) и (3,4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);
2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0, 7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).
II. Найти периметр треугольника, стороны которого заданы уравнениями:
x + у - 1 = 0, 2x - у - 2 = 0 и у = 1.
III. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (1, 0) и (0,1) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается и результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° против часовой стрелки.
IV. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (2, 0) и (\/ 3 / 2 , - 1 / 2) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° по часовой стрелке.
Расчет расстояний между точками по их координатам на плоскости элементарен, на поверхности Земли — немного посложнее: мы рассмотрим измерение расстояния и начального азимута между точками без проекционных преобразований. Для начала разберемся в терминологии.
Введение
Длина дуги большого круга – кратчайшее расстояние между любыми двумя точками находящимися на поверхности сферы, измеренное вдоль линии соединяющей эти две точки (такая линия носит название ортодромии) и проходящей по поверхности сферы или другой поверхности вращения. Сферическая геометрия отличается от обычной Эвклидовой и уравнения расстояния также принимают другую форму. В Эвклидовой геометрии, кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая линия. На сфере, прямых линий не бывает. Эти линии на сфере являются частью больших кругов – окружностей, центры которых совпадают с центром сферы. Начальный азимут — азимут, взяв который при начале движения из точки А, следуя по большому кругу на кратчайшее расстояние до точки B, конечной точкой будет точка B. При движении из точки A в точку B по линии большого круга азимут из текущего положения на конечную точку B постоянно меняется. Начальный азимут отличен от постоянного, следуя которому, азимут из текущей точки на конечную не меняется, но маршрут следования не является кратчайшим расстоянием между двумя точками.Через любые две точки на поверхности сферы, если они не прямо противоположны друг другу (то есть не являются антиподами), можно провести уникальный большой круг. Две точки, разделяют большой круг на две дуги. Длина короткой дуги – кратчайшее расстояние между двумя точками. Между двумя точками-антиподами можно провести бесконечное количество больших кругов, но расстояние между ними будет одинаково на любом круге и равно половине окружности круга, или π*R, где R – радиус сферы.
На плоскости (в прямоугольной системе координат), большие круги и их фрагменты, как было упомянуто выше, представляют собой дуги во всех проекциях, кроме гномонической, где большие круги — прямые линии. На практике это означает, что самолеты и другой авиатранспорт всегда использует маршрут минимального расстояния между точками для экономии топлива, то есть полет осуществляется по расстоянию большого круга, на плоскости это выглядит как дуга.
Форма Земли может быть описана как сфера, поэтому уравнения для вычисления расстояний на большом круге важны для вычисления кратчайшего расстояния между точками на поверхности Земли и часто используются в навигации. Вычисление расстояния этим методом более эффективно и во многих случаях более точно, чем вычисление его для спроектированных координат (в прямоугольных системах координат), поскольку, во-первых, для этого не надо переводить географические координаты в прямоугольную систему координат (осуществлять проекционные преобразования) и, во-вторых, многие проекции, если неправильно выбраны, могу привести к значительным искажениям длин в силу особенностей проекционных искажений. Известно, что более точно описывает форму Земли не сфера, а эллипсоид, однако в данной статье рассматривается вычисление расстояний именно на сфере, для вычислений используется сфера радиусом 6372795 метров, что может привести к ошибке вычисления расстояний порядка 0.5%.
Формулы
Существует три способа расчета сферического расстояния большого круга. 1. Сферическая теорема косинусов В случае маленьких расстояний и небольшой разрядности вычисления (количество знаков после запятой), использование формулы может приводить к значительным ошибкам связанным с округлением. φ1, λ1; φ2, λ2 — широта и долгота двух точек в радианах Δλ — разница координат по долготе Δδ — угловая разница Δδ = arccos {sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ} Для перевода углового расстояния в метрическое, нужно угловую разницу умножить на радиус Земли (6372795 метров), единицы конечного расстояния будут равны единицам, в которых выражен радиус (в данном случае — метры). 2. Формула гаверсинусов Используется, чтобы избежать проблем с небольшими расстояниями. 3. Модификация для антиподов Предыдущая формула также подвержена проблеме точек-антиподов, чтобы ее решить используется следующая ее модификация.Моя реализация на РНР
// Радиус земли define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Расстояние между двумя точками * $φA, $λA - широта, долгота 1-й точки, * $φB, $λB - широта, долгота 2-й точки * Написано по мотивам http://gis-lab.info/qa/great-circles.html * Михаил Кобзарев < > * */ function calculateTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) { // перевести координаты в радианы $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // косинусы и синусы широт и разницы долгот $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // вычисления длины большого круга $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; } Пример вызова функции: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139.55; echo calculateTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . " метров"; // Вернет "17166029 метров"Статья взята с сайта
С помощью координат определяют местоположение объекта на земном шаре. Координаты обозначаются по широте и долготе. Широты отсчитываются от линии экватора по обеим сторонам. В Северном полушарии широты положительные, в Южном полушарии – отрицательные. Долгота отсчитывается от начального меридиана либо на восток, либо на запад, соответственно получается либо восточная долгота, либо западная.Согласно общепринятому положению, за начальный принят меридиан, который проходит через старую Гринвичскую обсерваторию в Гринвиче. Географические координаты местоположения можно получить с помощью GPS-навигатора. Этот прибор получает сигналы спутниковой системы позиционирования в системе координат WGS-84, единой для всего мира.
Модели навигаторов различаются по производителям, функционалу и интерфейсу. В настоящее время встроенные GPS-навигаторы имеются и в некоторых моделях сотовых телефонов. Но любая модель может записать и сохранить координаты точки.
Расстояние между координатами GPS
Для решения практических и теоретических задач в некоторых отраслях производства необходимо уметь определять расстояния между точками по их координатам. Для этого можно использовать несколько способов. Каноническая форма представления географических координат: градусы, минуты, секунды.Для примера можно определить расстояние между следующими координатами: точка №1 - широта 55°45′07″ с.ш., долгота 37°36′56″ в.д.; точка №2 - широта 58°00′02″ с.ш., долгота 102°39′42″ в.д.
Наиболее простой способ - воспользоваться -калькулятором для расчета протяженности между двумя точками. В поисковике браузера необходимо задать следующие параметры для поиска: онлайн- для расчета расстояния между двумя координатами. В онлайн-калькуляторе вводятся значения широт и долгот в поля запросов для первой и второй координаты. При расчете онлайн-калькулятор выдал результат – 3 800 619 м.
Следующий способ более трудоемкий, но и более наглядный. Необходимо воспользоваться любой доступной картографической или навигационной программой. К программам, в которых можно создать точки по координатам и измерить расстояния между ними, относятся следующие приложения: BaseCamp (современный аналог программы MapSource), «Google Планета Земля», «SAS.Планета».
Все вышеперечисленные программы доступны для любого пользователя сети. К примеру, для расчета расстояния между двумя координатами в программе «Google Планета Земля» необходимо создать две метки с указанием координат первой точки и второй точки. Затем при помощи инструмента «Линейка» нужно соединить линией первую и вторую метки, программа автоматически выдаст результат промера и покажет путь на спутниковом снимке Земли.
В случае с примером, приведенным выше, программа «Google Планета Земля» выдала результат – протяженность расстояния между точкой №1 и точкой №2 составляет 3 817 353 м.